Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.
1.От перестановки мест слагаемых сумма не меняется:
a + b = b + a.
2.Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу
прибавить сумму второго и третьего числа:
(a + b) + c = a + (b + c).
3.Если к числу прибавить ноль, получится само число:
a + 0 = 0 + a = a.
Сложение дробей – это процесс нахождения суммы двух или более дробей.
Складывание дроби с одинаковыми знаменателями - процесс суммирования только числителей при сохранении знаменателя.
Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
!Не забываем после сложения дробей проверить сокращается ли полученная дробь и если делимое больше делителя, нужно преобразовать дробь в смешанное число.!
Например: Найдем сумму двух дробей: \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{4}{7}\), знаменатель у этих дробей одинаковый, значит необходимо сложить числители (2+4=6) и оставить знаменатель (7). Получаем, что \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{6}{7}\)
Чтобы складывать дроби с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель (далее НОК).
Рассмотрим 2 способа:
1 способ:
1. Простейший способ найти НОК — это просто перемножить знаменатели (Умножить числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби, затем умножить числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой дроби). В результате чего, мы получим 2 дроби с одинаковыми знаменателями и сложим их в соответствии с предыдущем правилом (сложение дробей с одинаковым знаменателем).
2. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере: \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{2}{3}\)
1) Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (\(\frac{3 \times 3}{5 \times 3}\) = \(\frac{9}{15}\)), затем умножаем числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой дроби (\(\frac{2 \times 5}{3 \times 5}\) = \(\frac{10}{15}\)).
Получаем: \(\frac{9}{15}\) + \(\frac{10}{15}\) = \(\frac{9+10}{15}\) = \(\frac{19}{15}\)
2) Получилось неправильная дробь, преобразуем ее в смешанное число: \(\frac{19}{15}\) = \( 1 \frac{4}{15}\)
Ответ: \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{2}{3}\) = \( 1 \frac{4}{15}\)
2 способ:
1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.
Для этого необходимо разложить числители дробей на простые множители. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению дробей с одинаковым знаменателем.
4. Проверим полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере пошагово:
Найдем сумму 2 дробей: \(\frac{8}{15}\) + \(\frac{7}{18}\)
1. Найдем НОК. Разложим числители наших дробей (15 и 18) на простые множители. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
НОК(15;18) = 3 × 5 × 2 × 3 = 90
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби: 90:15=6;
Для второй дроби: 90:18=5.
3. Используем одно из свойств дроби, затем переходим к сложению дробей с одинаковым знаменателем:
\(\frac{8 \times 6}{15 \times 6}\) + \(\frac{7 \times 5}{18 \times 5}\) = \(\frac{48}{90}\) + \(\frac{35}{90}\) = \(\frac{48+35}{90}\) = \(\frac{83}{90}\)
4.Проверяем полученную дробь: делимое не больше делителя, значит не нужно преобразовать в смешанное число; дробь не сокращается.
Ответ: \(\frac{8}{15}\) + \(\frac{7}{18}\) = \(\frac{83}{90}\)
Существует 2 способа:
1 способ:
1. Преобразовать смешанную дробь в неправильную.
2. Действовать по одному из алгоритмов (сложение дробей с одинаковым знаменателем или сложение дробей с разным знаменателем).
3. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере: \( 2 \frac{4}{7}\) + \( 4 \frac{3}{5}\)
Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
\( 2 \frac{4}{7}\) = \(\frac{18}{7}\)
\( 4 \frac{3}{5}\) = \(\frac{23}{5}\)
Получились 2 дроби с разными знаменателями, будем находить их сумму, используя 1 способ сложения дробей с разными знаменателями.
\(\frac{18}{7}\) + \(\frac{23}{5}\) = \(\frac{18 \times 5}{7 \times 5}\) + \(\frac{23 \times 7}{5 \times 7}\) = \(\frac{90}{35}\) + \(\frac{161}{35}\) = \(\frac{90+161}{35}\) = \(\frac{251}{35}\)
3.Проверяем полученную дробь: т.к делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число
\(\frac{251}{35}\) = \( 7 \frac{6}{35}\)
Ответ: \( 2 \frac{4}{7}\) + \( 4 \frac{3}{5}\) = \( 7 \frac{6}{35}\)
2 способ
Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части (Если знаменатели разные, приведем к общему).
3. Суммировать полученные результаты (Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части).
Рассмотрим на примере из 1 способа: \( 2 \frac{4}{7}\) + \( 4 \frac{3}{5}\)
1.Сложим целые части: 2+4=6
2.Сложим дробные части (т.к получились 2 дроби с разными знаменателями, будем находить их сумму, используя 1 способ сложения дробей с разными знаменателями).
\(\frac{4}{7}\) + \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{4 \times 5}{7 \times 5}\) + \(\frac{3 \times 7}{5 \times 7}\) = \(\frac{20}{35}\) + \(\frac{21}{35}\) = \(\frac{20+21}{35}\) = \(\frac{41}{35}\) = \( 1 \frac{6}{35}\)
3.Суммируем полученные результаты: \(6\) + \( 1 \frac{6}{35}\) = \( 7 \frac{6}{35}\)
Ответ: \( 2 \frac{4}{7}\) + \( 4 \frac{3}{5}\) = \( 7 \frac{6}{35}\)
Вычитание – это операция, обратная сложению.
1. Если из числа вычесть нoль, получится само число:
a-0=a
2. Если из числа вычесть такое же число, то получится нуль:
a-a=0
3. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно
слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое:
a-(b+c)=a-b-c
4.Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного
слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое:
(a+b)-c=(a-c)+b, (если a > c или а = с)
(a+b)-c=(b-c)+a, (если b > c или b = с)
Вычитание дробей - это процесс нахождение разницы двух или более дробей.
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
\(\frac{a}{c}\) - \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a-b}{c}\)
!Не забываем после сложения дробей проверить сокращается ли полученная дробь и если делимое больше делителя, нужно преобразовать дробь в смешанное число.!
Например: Выполним вычитание двух дробей: \(\frac{8}{9}\) - \(\frac{5}{9}\), знаменатель у этих дробей одинаковый, значит необходимо вычесть числители (8-5=3) и оставить знаменатель (9). Получаем, что \(\frac{8}{9}\) - \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{3}{9}\). Дробь сокращается на 3, значит\(\frac{8}{9}\) - \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{3}{9}\) = \(\frac{1}{3}\)
Рассмотрим 2 способа:
1 способ:
1. Приводим обе дроби к общему знаменателю (НОК). Простейший способ найти НОК — это просто перемножить знаменатели (Умножить числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби, затем умножить числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой дроби). В результате чего, мы получим 2 дроби с одинаковыми знаменателями и вычтем одну из другой их в соответствии с предыдущем правилом (вычитание дробей с одинаковым знаменателем).
2. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере: \(\frac{5}{6}\) - \(\frac{1}{8}\)
1) Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (\(\frac{5 \times 8}{6 \times 8}\) = \(\frac{40}{48}\)), затем умножаем числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой дроби (\(\frac{1 \times 6}{8 \times 6}\) = \(\frac{6}{48}\)).
Получаем: \(\frac{40}{48}\) - \(\frac{6}{48}\) = \(\frac{48-6}{48}\) = \(\frac{34}{48}\)
2) Полученную дробь можно сократить на 2: \(\frac{34}{48}\) = \(\frac{17}{24}\)
Ответ: \(\frac{5}{6}\) - \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{17}{24}\)
2 способ:
1. Приводим обе дроби из условия к общему знаменателю. Чтобы его найти, нужно НОК (наименьшее общее кратное). НОК находим следующим образом – раскладываем оба знаменателя на простые множители. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Чтобы сделать это, полученный НОК делим на каждый знаменатель.
3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к вычитанию дробей с одинаковым знаменателем.
4. Проверяем полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере пошагово:
Выполним вычитание 2 дробей: \(\frac{4}{9}\) - \(\frac{4}{15}\)
1. Найдем НОК. Разложим числители наших дробей (9 и 15) на простые множители. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
9 = 3 × 3
15 = 5 × 3
НОК(9;15) = 3 × 3 × 5 = 45
2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби: 45:9=5;
Для второй дроби: 45:15=3.
3. Используем одно из свойств дроби, затем переходим к вычитанию дробей с одинаковым знаменателем:
\(\frac{4 \times 5}{9 \times 5}\) - \(\frac{4 \times 3}{15 \times 3}\) = \(\frac{20}{45}\) - \(\frac{12}{45}\) = \(\frac{20-12}{45}\) = \(\frac{8}{45}\)
4. Проверяем полученную дробь: делимое не больше делителя, значит не нужно преобразовать в смешанное число; дробь не сокращается
Ответ: \(\frac{4}{9}\) - \(\frac{4}{15}\) = \(\frac{8}{45}\)
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Рассмотрим 2 способа:
1 способ:
1. Перевести натуральное число в вид обыкновенной дроби.
2. Действовать по одному из алгоритмов (вычитание дробей с одинаковым знаменателем или вычитание дробей с разным знаменателем).
3. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение
Рассмотрим данный способ на примере: \(3\) - \(\frac{4}{5}\)
1. Переведем натуральное число (3) в вид обыкновенной дроби: \(3\) = \(\frac{3}{1}\)
2. Получилось две дроби с разными знаменателями, будем находить их сумму, используя 1 способ вычитания дробей с разными знаменателями.
\(\frac{3}{1}\) - \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{3 \times 5}{1 \times 5}\) - \(\frac{4 \times 1}{5 \times 1}\) = \(\frac{15}{5}\) - \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{15-4}{5}\) = \(\frac{11}{5}\)
3. Проверяем полученную дробь: т.к делимое больше делителя, нужно преобразовать дробь в смешанное число
\(\frac{11}{5}\) = \( 2 \frac{1}{5}\)
Ответ: \(3\) - \(\frac{4}{5}\) = \( 2 \frac{1}{5}\)
2 способ:
1. Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой
2. Действовать по одному из алгоритмов (вычитание дробей с одинаковым знаменателем или вычитание дробей с разным знаменателем).
3. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение
1. Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
\(3\) = \(2\frac{5}{5}\)
2. Получились две дроби с одинаковым знаменателем. Вычтем одну дробь из другой согласно правилу (Вычитание дробей с одинаковым знаменателем)
\(2\frac{5}{5}\) - \(\frac{4}{5}\) = \(2\frac{1}{5}\)
3. Проверяем полученную дробь: делимое не больше делителя, значит не нужно преобразовать в смешанное число; дробь не сокращается
Ответ: \(3\) - \(\frac{4}{5}\) = \(2\frac{1}{5}\)
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби осуществляется аналогично.
Существует 2 способа:
1 способ:
1. Преобразовать смешанную дробь в неправильную.
2. Действовать по одному из алгоритмов (вычитание дробей с одинаковым знаменателем или вычитание дробей с разным знаменателем).
3. Проверить полученный результат:
• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Рассмотрим данный способ на примере:\(4\frac{4}{7}\) - \(2\frac{7}{8}\)
1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
\(4\frac{4}{7}\) = \(\frac{32}{7}\) \(2\frac{7}{8}\) = \(\frac{23}{8}\)2. Получились 2 дроби с разными знаменателями, будем находить их сумму, используя 1 способ вычитания дробей с разными знаменателями.
\(\frac{32}{7}\) - \(\frac{23}{8}\) = \(\frac{32 \times 8}{7 \times 8}\) - \(\frac{23 \times 7}{8 \times 7}\) = \(\frac{256}{56}\) - \(\frac{161}{56}\) = \(\frac{256-161}{56}\) = \(\frac{95}{56}\)
3. Проверяем полученную дробь: т.к делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число
\(\frac{95}{56}\) = \(1\frac{39}{56}\)
Ответ: \(4\frac{4}{7}\) - \(2\frac{7}{8}\) = \(1\frac{39}{56}\)
2 способ
Вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному вычитанию их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
1. Вычесть целые части.
2. Вычесть дробные части (Если знаменатели разные, приведем к общему).
3. Вычесть полученные результаты (Если при вычитании дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части).
Рассмотрим на примере: \(4\frac{4}{7}\) - \(2\frac{3}{8}\)
1. Вычтем целые части: 4-2=2
2. Вычтем дробные части (т.к получились 2 дроби с разными знаменателями, будем находить их разность, используя 1 способ вычитания дробей с разными знаменателями).
\(\frac{4}{7}\) - \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{4 \times 8}{7 \times 8}\) - \(\frac{3 \times 7}{8 \times 7}\) = \(\frac{32}{56}\) - \(\frac{21}{56}\) = \(\frac{32-21}{56}\) = \(\frac{11}{56}\)
3. Суммируем полученные результаты: \(2\) + \(\frac{11}{56}\) = \(2\frac{11}{56}\)
Ответ: \(4\frac{4}{7}\) - \(2\frac{3}{8}\) = \(2\frac{11}{56}\)